[파이썬] 9020 : 골드바흐의 추측

바흐흑....

 

문제

1보다 큰 자연수 중에서  1과 자기 자신을 제외한 약수가 없는 자연수를 소수라고 한다. 예를 들어, 5는 1과 5를 제외한 약수가 없기 때문에 소수이다. 하지만, 6은 6 = 2 × 3 이기 때문에 소수가 아니다.

골드바흐의 추측은 유명한 정수론의 미해결 문제로, 2보다 큰 모든 짝수는 두 소수의 합으로 나타낼 수 있다는 것이다. 이러한 수를 골드바흐 수라고 한다. 또, 짝수를 두 소수의 합으로 나타내는 표현을 그 수의 골드바흐 파티션이라고 한다. 예를 들면, 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5, 12 = 5 + 7, 14 = 3 + 11, 14 = 7 + 7이다. 10000보다 작거나 같은 모든 짝수 n에 대한 골드바흐 파티션은 존재한다.

2보다 큰 짝수 n이 주어졌을 때, n의 골드바흐 파티션을 출력하는 프로그램을 작성하시오. 만약 가능한 n의 골드바흐 파티션이 여러 가지인 경우에는 두 소수의 차이가 가장 작은 것을 출력한다.

입력

첫째 줄에 테스트 케이스의 개수 T가 주어진다. 각 테스트 케이스는 한 줄로 이루어져 있고 짝수 n이 주어진다.

출력

각 테스트 케이스에 대해서 주어진 n의 골드바흐 파티션을 출력한다. 출력하는 소수는 작은 것부터 먼저 출력하며, 공백으로 구분한다.

제한

• 4 ≤ n ≤ 10,000

예제 입력 1 복사

3

8

10

16

예제 출력 1 복사

3 5

5 5

5 11

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일단 에라토스테네스의 체 를 사용하여 소수 리스트를 만들어놓았다. 문제에 10000보다 작다고 나와있으니, 해당 조건으로 테이블을 만들자.

 

그다음으로 골드바흐 파티션을 어떻게 출력할지 고민해봤다.

 

2보다 큰 모든 짝수는 두 소수의 합으로 나타낼 수 있고, 골드바흐 파티션이 2개 이상인 경우, 두 소수의 차이가 가장 작은 것을 출력해야한다.

 

위 조건 중 "두 소수의 차이가 가장 작은 것을 출력해야한다" 를 만족시키려면 최대한 두 값을 짝수의 중간값 부근에 위치시켜야한다.

 

두 값을 각각 leftNum, rightNum 이라 한다면, leftNum이 주어진 수의 중간값을 넘지 않되, 최대한 가깝게 설정하면 두 소수의 차이가 가장 적게될것이다.

 

따라서, leftNum을 증가시키며 조건에 맞게 골드바흐 파티션을 찾다가 leftNum이 주어진 수의 중간값을 넘어가면, 그 이전 수의 쌍을 리턴하면될것이다.

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import math
class GoldBah:

    #생성자
    def __init__(self):
        #소수 테이블 만들어놓기
        self.minorityList = [True for _ in range(10000)]
        self.minorityList[0] = False
        self.minorityList[1] = False

        for i in range(2, math.ceil(math.sqrt(10000))):
            if self.minorityList[i]:
                for delt in range(i*2, len(self.minorityList), i):
                    self.minorityList[delt] = False

    def solve(self, n):
        #소수 테이블 차례대로 훓으면서..?
        #짝수에서 첫번째 소수를 뺐을때의 결과가 소수여야한다!
        firstNum = n
        #짝수 = leftNum + rightNum 으로 결과가 리턴된다고 가정.
        leftNum = 0
        rightNum = 0 # == firstNum - leftNum
        for index, value in enumerate(self.minorityList):
            if value==False:
                pass
            #소수 빼기
            elif value==True:
                if index>(n//2):
                    #leftNum은 주어진 수의 절반을 넘어갈 수 없다!
                    return "{} {}".format(leftNum, firstNum-leftNum)
                rightNum = firstNum-index
                if self.minorityList[rightNum]==False:
                    pass
                #뺀값이 소수
                elif self.minorityList[rightNum]==True:
                    leftNum = index
                    pass

if __name__ == "__main__" :
    a = GoldBah()
    caseNumber = int(input())
    resultList = []
    for caseCnt in range(caseNumber):
        n = int(input())
        resultList.append(a.solve(n))

    print(*resultList, sep="\n")